由2015年江苏高考20题谈数学探究式教学

徐叶琴

近几年数学教育改革取得了很多成绩，但我们更要看到存在的问题与不足。“优秀学生的数学能力、数学素质还不令人满意，思维的灵活性到哪里去了？”高密度的“例题”与高密度的“测试”符合理想的数学教学吗？社会发展，人类进步所呼唤的数学教学究竟是什么^[1]？下面笔者就2015年江苏高考数学卷最后一题的研究来谈谈高中数学探究式教学。

1  试题的研究

从方法的角度来说，2012至2015的江苏高考数学，难题不再是单纯地利用繁琐的计算或复杂的推导过程来增加难度，而是逐渐变为对方法的考查。但在与高三学生考后交流中发现：2015江苏高考第20题第（1）问是送分题；但学生对试题第（2）问仅停留在问题的表象，对问题的研究缺乏方向感，答题卷上留下的方法繁多，计算混乱；学生对试题第（3）问的研究更是缺乏信心，大部分考生不知所措，毫无头绪。据称全省这一题最高分也就只有11分。

    试题呈现    设是各项为正数且公差为的等差数列.（1）证明：依次成等比数列；（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.

（参考答案略）

下面是对此题第（2）（3）的研究与认识。

    第（2）问假设存在，使得依次成等比数列，则，有些学生一看到第二个式子是6次方，就不敢往下解题了。那我们应该如何降次呢？

    第一，发现是各项为正数，所以，即

，两边可以同时除以或者，使其变为一个未知数的方程，但最好令，这样的范围好确定。参考答案上令，也是为了方便找齐次式，可是学生很少这样做。若有些学生还没有发现，可以继续展开化简，得，即，

易解第二个方程得（舍去），没发现范围的学生还需要将代入第一个式子进行检验，或者将第二个方程变形成再代入第一个式子，

                ，从而得（矛盾）。

因此，不存在，使得依次成等比数列。

第二，要使依次成等比数列，即依次成等差数列。第（3）问中当时就是第（2）问，如果第（3）问也用第一种方法，那必须用二项式展开才行，但这样就超纲了，所以我们两边取对数。像参考答案一样，对复合函数进行求导，还是超纲。我们不妨再看看等差数列的形式美：其通项是关于的一次式。故本问题等价于关于的方程有四个解，且数列也成等差，不妨设，则原方程等价于（其中均为常数），形式比参考答案简单多了，但还是有复合函数求导（理科学生能做下去）。文科的处理方法也不难，令（当时，；当时，），则有四个零点。因为至多有两个解，所以函数至多有三个单调区间，那么至多有三个零点（矛盾）。那么第（3）问就迎刃而解了，学生们不妨试试！

基于上述解答过程，笔者感悟到如下三点：（1）养成良好的数学解题习惯，如注意到中间变元的取值范围，可少走许多弯路；（2）发现数学的美，如注意到齐次式、等差数列通项特征等，转化后出现的新问题情境在高二、高三学习时也遇到过；（3）学生感到运算的复杂与艰难，根源在于“解题方向”模糊。

2  关于数学探究式教学的思考

2.1  不能与接受式学习方式对立

如果每个概念、定理都能从实践中引入，在探索中发现，那需要多长时间？这样既违反了人类文化继承和发展的规律，也给高中数学学习增加更大的压力。传统的听课理解、模仿记忆、练习作业等仍然是当今数学教学的主要方式，不能因探究式教学而把它全盘否定。纵观2015年的高考数学试题，只有在对1～12，15～18题熟练掌握的前提之下，才能有时间淡定地研究剩下的难题。作为新世纪的教师，要善于根据学生的实际情况，具体的教学目标、内容及教学条件选择合适的教学方式。

2.2  关于探究式教学时间的问题

同样的学习任务采用探究式教学较之采用接受式教学往往需要花费较多的时间，由此造成的教学进程和教学时间之间的矛盾是无法回避的现实问题。由于多数中小学数学教师没有亲身研究数学问题的经历和体验，对数学研究方法了解比较少，再加上高考很少涉及数学研究方法的问题，因此教师很少花更多时间向学生介绍一些数学研究的方法。数学探究教学课前需要做的准备工作较多，教师普遍感到负担要更重一些^[2]。比方讲解证明：，正如祁平老师所说的“72”小时现象：教师认真教学，学生学会了某问题的解题过程。三天之内，学生认识该问题的思路，但三天之后（72小时）学生在练习该问题（或类似问题）时，又处于茫然状态，解题思路混乱。相对于传统教学，时间反而是浪费。如果教师在预设时认真研究学生的反应，多一点交流渠道，接受更多的经典数学探究教学案例，再多一点亲身体验数学探究式教学，那么2015年高考数学第20题的考察效果也不致于会如此不佳。因此，笔者建议：新一轮的教改要能在一些制度上减轻平时教师教学的负荷，保证促使教师愿意花更多时间来为学生的探究做复杂费时的准备工作，花更多的精力去阅读与数学探究教学相关的书籍和期刊。

2.3  抓住探究式教学中的主动点         

探究式课堂教学是否能取得实效，归根到底是以学生是否参与、怎样参与、参与多少来决定的。只有最大限度地调动学生学习的潜能，让学生主动参与教学，使学生充分体验和感受学习的过程，发现数学的美，找到数学的本质。如20题第（2）问，教师可以通过问题情境的创设，改变传统教学中以教师提问为主的做法，营造良好的课堂氛围，保护学生的好奇心，诱发学生的学习欲望，培养学生对有价值问题的敏感度和捕捉能力，发挥好“主导性”，努力为学生创造学习的自由等手段来诱发学生探究的主动性；同时，在操作中要把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，引导学生自己去完成教学过程。

2.4  把握探究式教学中的反思点

数学并不是单纯的知识，而是思想、观念，它既是繁琐的材料，又是反思的结果。在探究式教学过程中，教师要引导学生反思小结，这样不仅可以强化探究过程，逐步加深印象，形成良好的习惯，而且能让学生再次体会探究的乐趣，从而增加主动学习的内驱力。我们在课中、课尾适时引导学生反思小结，主要是回忆探究中运用的各种方法，取得的各项收获，逐渐帮助学生积累方法，形成良好的探究习惯、严谨的科学态度、锲而不舍的研究作风。探究式教学的效果如何，关系到学生的学习质量。我们只有深入学习，领会它的精髓，在实践中反思，在反思中成长，才能顺应新课改的要求，适应新时期的教育发展。

参考文献：

[1]祁平.由两道高考试题的研究引发的教学思考[J].数学通报.2012(12):41

[2]范文贵，姚艳伟.数学探究教学中存在的问题与改进策略研究[J].天津师范大学学报(基础教育版).2008(12): 53

本文发表于《中学数学月刊》2015年第9期）