高三数学一轮高效复习的三个策略

——以《高三数学教学与测试》的使用为例

顾云良

如何进行高三数学的高效复习，是广大教师一直孜孜不倦探究、摸索和实践的话题．众所周知，教学有法，教无定法，贵在得法．因此研究复习工作如何“得法”的问题，是一个常见常新的问题．本文结合多年高三数学教学实践，谈谈笔者的做法与体会．

1 “明谋定重”是高效复习的有力保障

“明”是指明确高考方向，研究高考动向；“谋”是指科学谋划，制定教学计划；定是指依据学情合理确定教学起点；突是指教法上突出思想方法，学会融会贯通．这是第一轮复习的总体思路．

1. 1 以钢为纲明方向

高考导向就是复习的方向，高三教师要认真研读《考试说明》，明确各章节知识点的考查要求及考查等级．认真研究江苏、上海、山东、广东、全国新课标的最新高考试题，了解试卷结构特点，关注它们近三年试题的变化，把握高考脉搏．在每届高三新学期开学前，我市教研室对新一届高三数学老师都进行上岗培训，用上述地区试卷的原题组卷，组织教师参加考试，这一举措有力地推动了教师研究高考，也是我市高考连续多年稳步提高的法宝之一．如此未雨绸缪，方可事半功倍．

1. 2 科学合理谋计划

每当新学期开学之际，我们都在备课班期间认真组织教研活动，集体讨论第一轮复习的总体思路，认真制定教学计划（细化到每天），并上墙公示．原则上我们每天安排一节新授课和一节讲评课，采用限时作业的形式进行午练（填空题专项训练），每周安排一次70分钟和一次2小时的滚动练习（只考查复习过的内容）以检查复习效果，期中考试预留三天复习时间，期末考试预留二周复习时间．

1. 3 依据学情定起点

因材施教是一切教育教学活动的首要条件，因为不同学校的生源在学习基础、认知能力上存在较大差异，即便是同一所学校的不同班级，同一个班级的不同学生也客观存在差异． 第一轮复习强调的是基础和全面，重在唤醒学生记忆，重构知识网络，加强知识的横向和纵向联系，掌握知识的灵活应用．低起点才能高效益，依据学情确定教学起点才能使得复习工作有的放矢．第一轮复习尤其要严格控制考试频率和难度，切忌过早进行综合训练，对外来试卷合理剪拼重组，杜绝生搬硬套，“拿来主义”．事实上那种一味追求进度加深难度的做法欲速则不达．

1. 4 突出思想重体验

数学教育中的“四基”是指：基本数学知识、基本数学技能、基本数学思想方法、基本数学活动经验．四基并非孤立存在着，而是互相链接，形成你中有我、我中有你的交错局面^[1]．数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构：它是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化^[2]．

高三复习应以四基为抓手，突出数学思想方法，紧紧以学生的亲历体验为落脚点，让学生在经历问题探究的过程中掌握思想方法．

例1  设函数f_□(x) = e^x(2x - 1) - ax + a，其中a < 1，若存在唯一的整数x₀，使得f_□(x₀) < 0，则a的取值范围是      ．

分析  学生拿到函数题习惯上就想到求导，看见字母就想变量分离，本题先让学生动手（或者先作业）再交流做法．

生：e^x(2x - 1) - ax + a < 0，即a(x - 1) > e^x(2x - 1)．

（1）当x > 1时，a > e^x□×□--，令h(x) = e^x□×□-- = e^x(2 + -)，h'(x) = e^x[2 + - - -]．因为x > 1，x Î Z，所以x - 1≥1，0 < -≤1，故h'(x) > 0，从而h(x)在(1, +¥)上单调递增，只有唯一的整数点x₀满足f_□(x₀) < 0，则h(2) < a≤h(3)，即3e² < a≤e³，这与a < 1矛盾．

（2）当x < 1时，a < e^x□×□--，可证h(x)在(-¥, 1)上单调递增，同理h(-1) < a≤h(0)，即□e^-1≤a < 1，综上□≤a < 1．

上面学生的解法结果是正确的，作为填空题，教师引导利用数形结合思想，作图分析出x₀ = 0．

另解  设g(x) = e^x(2x - 1)，y = ax - a，由题知存在唯一的整数x₀，使得g(x₀)在直线y = ax - a的下方．因为g'(x) = e^x(2x + 1)，所以当x < -□□时，g'(x) < 0，当x > -□□时，g'(x) > 0．故当x = -□□时，[g(x)]_min = -2e-2(1)，当x = 0时，g(0) = -1，g(1) = 3e > 0，直线y = ax - a恒过(1, 0)斜率且a，故-a > g(0) = -1，且g(-1) = -3e^-1≥-a - a，解得□≤a < 1．

2 “细精活实”是高效复习的有力举措

细是指复习工作的细致、缜密；精是指教学态度上追求精益求精；活是指打造活力课堂；实是指工作作风上是求实和踏实．细精活实体现了复习工作的特色，也是我们连续多年取得高三复习成功的法宝．

2. 1 细节过程上做文章

“细”是仔细、细致而不粗糙的意思，细节决定成败强调的是重视工作的过程．高三教学工作千头万绪，依据教育规律开展教学工作，才能稳扎稳打，忙而不乱．提高高三数学复习效果最关键的还是备课上课和学法指导，下面从教研、学习和讲课的角度阐释具体细化要求．

·细化教研要求

在高三大备课组内组建小备课组，发挥组内老师集体的力量，共同参与、群策群力．小备课组可按照物化、物生、文科的类别组建，也可新老教师结合，组成不同层次的交叉组合，以老带新形成优势互补．实施“主备课”制度，由骨干教师担任主讲人在每次的教研活动中作中心发言，阐述下周教学安排、教学设计和教学主张以供全组讨论．及早规划，布置补充讲义的编制任务，组稿、做稿、审稿、印制分工明确，责任到人．

·细化学习要求

教师对学生的预习、听课、作业、考试、纠错、总结等环节提出具体要求，并配以相应的检查手段．

以苏大《高三数学教学与测试》（下称《教学与测试》）为例，如预习环节：（1）预习教科书；（2）整理概念和公式；（3）能说出概念的来龙去脉；（4）完成《教学与测试》的作业（A/B练习册）；（5）归纳本课的数学思想和方法技巧．

对应检查手段：（1）和（2）环节，要求学生记录在《教学与测试》学生用书上（版面不够附页粘贴），课前抽查学生的完成情况；上课时结合基础训练提问（1）~（3）部分；提前一天批阅（4）并做好错误统计；重视课堂学生的自我总结．

又如建立学习团队：提倡既要埋头苦干，又要交流合作，同学之间建立互帮互学小组．再如纠错总结环节：高三的讲义比较多，应先下后上和分门别类原则，用胶水粘贴好讲义，准备好一本纠错本，及时订正错误，做到当日事当日毕，不留疑问到明天！

鼓励学生养成小结的习惯，平时课前饭后在头脑中放放电影，在笔记本上写写随感，到了周末，布置总结任务，把一周中复习的知识方法、重点难点、解题规范再回顾一下，对题型、思路、解题技巧、运算陷阱和误区再次辨析，悟出解题的思路和规律．

·细化上课要求

高三复习时间紧、任务重，每堂课的教学质量尤其重要，不能以讲完书本题目就算完成教学任务为目的，而是要根据学生学习的实际情况，有针对性地组织教学．批改作业时不能只看答案正误，更要研究学生的解法是否简洁合理．对班级学困生的作业进行面批，一方面可以补拐，更能从中把握学生的想法和做法，了解问题的症结所在．

例2  已知函数f_□(x) = ln x - （m Î R）在区间[1, e]上取得最小值4，则m =       ．

生1（确定单调区间） f_□'(x) =  +  = +，令f_□'(x) > 0，则x + m > 0，m > -x，x Î [1, e]．

（1）当m > -1时，f_□'(x) > 0，f_□(x)在[1, e]上单调递增，所以f_□(x)_min = f_□(1) = -m = 4，m = -4不合；

（2）令f_□'(x) < 0，则x + m < 0，m < -x，x Î [1, e]，即当m < -e时，f_□(x)在[1, e]上单调递减，f_□(x)_min = f_□(e) = 1 -  = 4，m = -3e符合；

（3）当-e≤m≤-1，即1≤-m≤e时，当x Î [1, -m]时f_□'(x) < 0，当x Î (-m, e]时f_□'(x) > 0，f_□(x)在[1, e]上先减后增，故f_□(x)_min = f_□(-m) = ln(-m) + 1 = 4，m = -e³不合．

综上所述，m = -3e．

生2（确定导函数的零点）f_□'(x) =  +  = +，令f_□'(x) = 0，则x = -m，当m≥0时x + m > 0，f_□'(x) > 0，f_□(x)单调递增，故f_□(x)_min = f_□(1) = -m = 4，m = -4舍；

当m < 0时，x = -m > 0，若x Î (0, -m)，则f_□'(x) < 0，f_□(x)单调递减；若x Î (-m, +¥)，则f_□'(x) > 0，f_□(x)单调递增．那么对导函数的根-m的要分-m Î (0, 1), -m Î (1, e), -m Î (e, +¥）三种情形进行讨论（略）．

上述两种学生作业解法的细节点是需要讨论的情形太多，过程比较复杂，那么能否先控参数的范围呢？

师（先控参数范围）：由f_□(1) = -m≥4，得m≤-4．又f_□(e) = 1 - ≥4，故m≤-3e，从而-m≥3e，所以f_□'(x) = + < 0，故f_□(x)_min = f_□(e) = 1 -  = 4，m = -3e．

可见学生对而不简，教师及时引导：“先控范围”，让学生感悟“事半功倍”的神奇．

教学中一旦发现学生在某一个知识点、某一种解题方法上有知识缺陷或方法漏洞时，宜及时采用“补练”措施．

例3（2014年苏州市零模）已知a, b为常数，a ¹ 0，函数f_□(x) = (a + )e^x．

（1）若a = 2，b = 1，求f_□(x)在(0, +∞)内的极值；

（2）① 若a > 0，b > 0，求证：f_□(x)在区间[1, 2]上是增函数；② 若f_□(2) < 0，f_□(-2) < e^-2，且f_□(x)在区间[1, 2]上是增函数，求由所有点(a, b)形成的平面区域的面积．

分析（（1）（2）①略）②中条件“f_□(x)在区间[1, 2]上是增函数”与①不同，它要求f_□'(x)≥0在区间[1, 2]上恒成立，因为f_□'(x) = (ax² + bx - b)□×□，即g(x) = ax² + bx - b≥0在区间[1, 2]上恒成立．学生误认为a > 0，b > 0是f_□(x)为[1, 2]增函数的充要条件，由此可见“先控范围”的重要性！

略解  先逐句“翻译条件”：因为f_□(x) < 0，f_□(-2) < e^-2，所以+<--<-a e2 e2，即+<-<2a b 2(2a b 0，)（*）．因为f_□(x)在区间[1, 2]上是增函数，所以f_□'(x)≥0在区间[1, 2]恒成立，即g(x) = ax² + bx - b≥0在区间[1, 2]上恒成立，所以=>=+ 4a b≥0(1 a 0，)（**）．在（*）（**）的条件下，b < 0且1 < -□≤2，且g(-□) = -- = -b(+)≥0恒成立，故点(a, b)满足的线性约束条件是><+<+-<2a b 2．(4a b≥0，)点(a, b)形成的平面区域为△OAB（图2），其中A(, -□), B(, -1), C(1, 0), S_△OAB = S_△OAC - S_△OBC = ．

2. 2 精益求精上下功夫

“精”是精确、精准、精致而不含糊的意思，态度决定一切强调的对待工作的一种姿态、态度．精选典型的例题，以精益求精的态度仔细研究，把它讲透，挖掘其通性通法，让学生在举一反三领悟解题真谛．以《教学与测试》（2014年10版）教师用书P51“自我测试6”．

例4  给定两个长度为1的平面向量→(OA)和→(OB)，它们的夹角为120°．如图3，点C在以O为圆心的圆弧︵(AB)上变动．若→(OC)□= x→(OA)□+ y→(OB)，其中x, y Î R，则x + y的最大值是  2  ．

解法1（教师用书提供解法）设ÐAOC = a，a Î [0, p]，则

×=×+××=×+×，(OB)　即a=-°-a=-+120 x y．

故x + y = 2[cos a + cos(120° - a)] = cos a + sin a = 2sin(a + p)，当a = p□时x + y取最大值为2．

解法2  由→(OC)□= x→(OA)□+ y→(OB)平方，得x² + y² - xy = 1，即(x + y)² - 3xy = 1，所以xy = [(x + y)² - 1]．又xy≤(+)²，所以□[(x + y)² - 1]≤(+)²，解得x + y≤2．当x = y = 1时，x + y取最大值为2．    

解法3  以O为坐标原点，OA为x轴正向建立直角坐标系，设ÐAOC = a，则a Î [0, p]，A(1, 0), B(-□, )，C(cos a, sin a)．由→(OC)□= x→(OA)□+ y→(OB)得(cos a, sin a) = x(1, 0) + y(-□, )，解得=a+a=a3以下同解法2．

解法4  如图4，过点C作CA₁∥BO交OA于A₁，则由向量运算的三角形法有→(OC) = →(OA1) + →(A1C)．又→(OC)□= x→(OA)□+ y→(OB)，注意到→(OA1)与→(OA), →(A1C)与→(OB)同向共线且→(OA), →(OB)的模均为1，从而OA₁ = x，A₁C = y．设ÐAOC = a，则a Î [0, p]，在△OA₁C中，由正弦定理得

p-a = a = p，解得=p-a=ay sin ．以下同解法3．

解法5  如图5，连结AB交OC于D，由→(OD)与→(OC)同向共线，可设→(OD)□= l→(OC)．当C在圆弧AB上变动时有l Î [, 1]，从而→(OD)□= l→(OC)□= l(x→(OA)□+ y→(OB)) = (lx)→(OA)□+ (ly)→(OB)，由A, D, B三点共线知lx + ly = 1，所以x + y = l Î [1, 2]，即x + y的最大值为2．

归纳：方法1  数量积法．可分成两类：自乘——点乘自身即平方，它乘——点乘关联向量．方法2  建系法，将向量问题转化为坐标（实数对）问题；方法3  向量线性运算法，线性运算可分成两类，加减——三角形或平行四边形法则，数乘——向量共线或三点共线．以上方法是处理向量问题的基本方法，教学中应高度重视，把问题讲解透彻，让学生理解并灵活应用．

2. 3 活力课堂上找突破   

“活”是指课堂上充满活力而不死气沉沉的意思，课堂的气氛要活跃，教师的讲解要灵活，学生的参与要积极．部分老师误认为高三复习时间紧、任务重，让学生发言或板演浪费时间，依然采用填鸭式灌输，不管学生能否听懂，不管学生的想法是否正确，不管解答是否科学合理，这种做法从表面上看完成了教学任务，其实是做了很多的无用功．这种固步自封、思想僵化的做法有违新课程理念，而且复习效率低下．

新课程强调以学生为主体，教师为主导的教学理念，强调学生的共同参与和合作交流．实施素质教育的主阵地是课堂，充满活力的课堂能促进学生身心愉悦，快乐地学习和成长．要改变老师一讲到底的做法，充分调动学生主动参与的积极性，鼓励学生大胆发言，敢于质疑标准答案，敢于发表自己的见解．

例5  数列{a_n}中，a_n = (-1)^n + 1(4n - 3)，记其前n项的和为S_n，则S₂₂ - S₁₁ =      ．

师：由a_n = (-1)^n + 1(4n - 3)可得a₁ = 1, a₂ = -5, a₃ = 9, a₄ = -13, a₅ = 17, a₆ = -21, ×××，由此可知，a₁ = 1, a₃ = 9, a₅ = 17, a₇ = 25, ×××构成以8为公差的等差数列；a₂ = -5, a₄ = -13, a₆ = -21, ×××构成以-8为公差的等差数列，S₂₂ = (a₁ + a₃ + ××× + a₂₁) + (a₂ + a₄ + ××× + a₂₂) = -44，S₁₁ = (a₁ + a₃ + ××× + a₁₁) + (a₂ + a₄ + ××× + a₁₀) = 21，所以S₂₂ - S₁₁ = -65．

该解法主要是通过将奇数项和偶数项分开，利用等差数列求和公式解答，在教师刚完成上述解法后，学生甲大胆提出，他的解法比上述方法还要好．教师马上抓住机会，邀请他上黑板板书．

生甲：由题意知，a₁ = 1, a₂ = -5, a₃ = 9, a₄ = -13, a₅ = 17, a₆ = -21, ×××因此a₁ + a₂ = -4，a₃ + a₄ = -4, a₅ + a₆ = -4, ×××，所以S₂₂ = a₁ + a₂ + ××× + a₂₂ = 11 ´ (-4) = -44．因为a₁₁ = (-1)¹²(44 - 3) = 41，所以 S₁₁ = a₁ + a₂ + ××× + a₁₁ = 5 ´ (-4) + a₁₁ = -20 + 41 = 21，所以S₂₂ - S₁₁ = -65．

正当教师表扬该生肯动脑筋爱思考时，学生乙大声提出还有更好的解法：

生乙：因为S₂₂ = a₁ + a₂ + ××× + a₂₂, S₁₁ = a₁ + a₂ + ××× + a₁₁，S₂₂ - S₁₁ = a₁₂ + a₁₃ + ××× + a₂₂，又因为a_n = (-1)^n + 1(4n - 3)，所以a₁₂ = -45，a₁₃ = 49, ×××, a₂₂ = -85，所以a₁₂ + a₁₃ = a₁₄ + a₁₅ = ××× = 4，所以S₂₂ - S₁₁ = 5 ´ 4 - 85 = -65．

2. 4 实干巧干上求共赢  

“实”是强调师生工作学习上的踏实、扎实、务实而不浮夸的意思，教风要 “勤奋进取，活跃创新”学风要“虚心求实，刻苦严格”．

教师的工作要实打实．教育管理部门早在上世纪八十年代就提出教学“六认真”基本要求和工作规范．“六认真”是教师教育行为的基本要求，高三教师除了要严格执行“六认真”以外，还必需实干加巧干，虚心向同行学习，采用多种手段强化高三复习工作．如前所述纠错补练外，也可以变式训练，还可以抓住专题复习这个突破口，有的老师认为只有在二轮复习才搞专题，其实一轮复习中也是很有必要的，这样做既能对教辅资料进行补充，更能贴切学生和高考实际突出解决某类问题．但一轮复习专题选题和二轮复习也有区别，宜小不宜大，不贪大求全，可以具体到某个知识点上展开研究．

“学高为师，身正为范．” 是著名教育家陶行知先生的名言， 意即教师是受过专门教育和训练的，在学校中向学生传递人类科学文化知识和技能，发展学生的体质，对学生进行思想道德教育，培养学生高尚的审美情趣，把受教育者培养成社会需要的人才的专业人员．教师的身体力行给学生以榜样示范，鼓励和培养学生吃苦耐劳的精神，尊重学生的认知规律，教书育人，与学生同甘共苦．只有发展了学生，才能发展自己，发展社会，要树立“共赢”理念，与学生同成长．

3 “精选适用”是高效复习的有力依托

“精选适用”是指精心挑选合适的复习资料，要适当、恰当和合理地使用好教辅资料．

目前市场上各种高三数学复习资料铺天盖地，良莠不齐，使得教师在面临具体选择时也很迷茫，部分家长“病急乱投医”，从各种渠道搞一些“高考押宝”题，仿佛灵丹妙药，以期孩子通过题海战术提高数学成绩．

笔者所在的学校和周边很多地区长期以来一直坚持使用苏州大学出版的《教学与测试》，该书知识点覆盖全，系统性强，题型经典，贴近高考，获得使用学校的一致好评．

《教学与测试》由基础训练（8道填空题）、例题精讲（4个典型例题）、巩固练习（4个填空题）组成，节尾附有要点回顾——概括本节课的概念和方法．课后作业是分A, B（隔天使用）册的白皮练习书．

3. 1 适当补充基本概念

鉴于学生用书上均由题目组成，预习时要求学生将教材中相应的基本概念和基础知识直接在空白处补充完整，也可以在每一个题目后面标注涉及的知识点，或者对经典的解法、重要的思想方法作评注，写一二句感悟或者小结，对于错题尽量在原题边上进行纠错订正，也可以将收集到的优秀试题和经典解法、重要结论包括课堂上精彩的内容直接抄录在资料上． 以便总复习时对本课的基本概念、重点难点一目了然．

3. 2 适当调整部分例题

根据各学校生源特点，注意对资料中的题目合理取舍．2016版《教学与测试》已做部分难题作了调整，在学生用书中对于部分有三小问的难题只呈现前二问，而在教师用书上完整呈现第三问供教师教学时参考．

对于四星级高中，可以提前一天布置A（B）作业，预习基础练习，在批阅的基础上进行讲评；对于三星级学校建议只要求预习基础题，等上完课后再做作业．

参考文献

[1] 张奠宙，郑振初．“四基”数学模块教学的构建——兼谈数学思想方法的教学[J]．数学教育学报，2011（5）．

[2] 李海东．重视数学思想方法的教学[J]．中国数学教育，2011（1-2）．

（本文发表于《中学数学月刊》2015年第9期）