立足教材开展数学探究的途径与思考

                         蔡道平                   

    现代数学哲学认为数学是人类创造发明的成果，是一个探究和认知的过程，数学教学应展示这一创造性活动.普通高中数学课程标准也指出：“数学教学活动应是经历数学化、再创造的活动过程.”数学高度抽象性的特点，造成了数学的难懂、难教、难学，这就需要学习者经历感受、体验和思考过程.由此可见，数学活动教学是新一轮数学课程改革的核心理念.当前的数学教学正将这一理念体现在数学教学中，突显出教学过程探究活动化的特征，主要表现为：在教学过程中，注重让学生经历数学探究的过程，或者让学生观察实验，或者让学生动手操作，或者让学生自己探究等等. 教材是课程标准的具体化，是实现教育目标和数学教育价值的重要载体，同时也是有效实施数学探究教学的重要途径. 基于这样的认识，笔者多年来一直立足教材开展数学探究教学，现将笔者的实践与思考整理成文，敬请指正.

1.立足教材开展数学探究的途径

从教学实践来看，教材中适合数学探究的问题很多，可以将教材中的数学公式、法则、性质、定理和约定式定义等作为探究问题，进行数学知识的过程性探究；可以将教材中的例题和习题作为探究问题，进行数学解题的一题多解和一题多变的多层次、多角度探究；可以将教材中有规律可循的数学结论作为探究问题，进行数学规律的建构性探究，等等.

1.1 数学知识的过程性探究

数学有三种不同的形态：自然形态、学术形态和教育形态，数学教师的使命和任务是将学术形态的数学转化为易于学生接受的教育形态的数学，这就要求教师要揭示数学知识的发生过程，展现其从发生到发展，再到运用的全过程.在数学知识的展现过程中，既可将教材中能够给出证明的数学公式、法则、性质和定理作为探究问题，也可将教材中的约定式定义的必要性和合理性的分析作为探究问题，进行数学知识的过程性探究. 数学公式、法则、性质和定理的探究教师都比较重视，而对于概念引入的探究不够，约定式定义是数学概念定义的重要方式，在数学教材中，有很多约定式定义的例子.如为何约定空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集？为何要规定零向量没有大小并且方向是任意的？为何约定指数指数函数的底数大于0，且不等于1？为何约定？这些数学知识虽然是人为约定，不能给出严格的证明，但以现代哲学的观点看，任何事物的出现都有它存在的正面价值，任何数学约定式定义的出现也必然有它的必要性和合理性.此时可以让学生从必要性（为什么要做出这样的规定？）和合理性（为什么可以做出这样的规定？）两方面理解定义本身，从而感知数学的约定式定义不是毫无根据的凭空臆断和捏造，而是具有必要性和合理性的一种概念定义方式，为教材的约定式定义进行合理的辩护，提升教材文本的探究性价值.

对概念定义的形成过程实施探究, 可以借助动手操作、演示, 以体现“做中学”的理念.

数学中许多概念、定义都可以通过学生的动手操作、演示来理解其必要性和合理性.

【案例 1】数学必修2“ 二面角的平面角 ”的概念

“二面角及其平面角”的概念是立体几何的重要概念 , 其中“二面角的平面角”的定义是教学难点 . 苏教版教材通过学生生活中熟悉的卫星 、笔记本电脑引出“ 二面角”的概念 ,以笔记本电脑打开时, 感到两个面所构成的二面角在变化, 提出问题 : 如何刻画这个二面角的大小呢?观察: 随着张口的增大 , ∠MAN 逐渐增大(如图) , 当二面角确定时, ∠MAN 也随之确定, 故可用∠MAN 度量二面角 ，由此得出二面角的平面角的定义．

   这里学生对于“有了二面角 , 为什么还要研究二面角的平面角?” 是容易理解的 , 但对于从笔记本模型 , 直接过渡到AM⊥AB , AN⊥AB用∠MAN 来定义二面角的平面角，学生感到有点突然 , 不利于学生形成“二面角的平面角”的概念 ．鉴于此 , 我们可以对“二面角的平面角 ”的概念设置一个动手操作、演示、探究的过程 .

首先通过师生讨论容易达成共识：对于二面角的大小 , 需要用一个确定的平面角去刻画 、去度量．接着小组合作探究 “怎么这样来定义二面角的平面角的呢 ?”

师: 哪一个平面角可以承担这一重任呢 ? 这样的平面角有几个 ? 是否唯一 ?教师见有些同学面露难色 , 则以课件投影出一组提示性的问题:

(1)考虑角的两条射线落在什么位置 ?在某一个半平面上行吗 ?

(2)角的端点应该落在什么位置 ?

(3)这两条射线该如何放置 , 才能合理地刻画这个二面角呢 ?

请大家试一试 , 小组讨论一下 .

对于问题(1)(2)比较容易达成共识 : 即两条射线落在两个平面上 , 端点落在棱上 . 而对于问题(3)有一定的困难，我们通过学生操作活动来破解这一难点，让每个学生准备一张纸，对折后就是一个二面角了，过棱上一点在两个半平面内尝试各画一条射线，观察怎样画时这个角定义二面角的平面角最好合适？ 小组讨论后代表发言.

生 : 在棱 AB 上取一点 P , 在两个半平面内作两条射线 PE 、PF , 使得 PE ⊥AB , PF ⊥AB , 这两条射线组成的角 ∠EPF 是确定的 , 可以刻画二面角的大小 .

师 : 何以见得 ∠EPF 是确定的 ?

生 : 在棱上另取一点 Q , 同样在两个面内分别引棱的垂线 QH、QG， …由等角定理，这两个角是相等的！

师 : 这两个角是相等的 , 所以 ∠EPF 是确定的 , 也就是这个平面角只与二面角α - AB - β的大小有关 , 与点 P 在棱AB上的位置无关 . 如果把这个角定义为二面角的平面角 , 大家有意见吗 ?

生 : 我这样作，在棱 AB 上取一点 P , 在两个半平面内作两条射线 PE , PF ,使，这两条射线组成的角 ∠EPF 也是确定的 , 也可以刻画二面角的大小 .

生：好像是的，只要，角 ∠EPF 都是确定的.

师：有道理，哪种作法更合适呢？请同学们把二面角的一个半平面放在桌面上，另一个半平面绕着棱AB转动，当两个半平面重合时、两个半平面都在桌面上时，你认为这个二面角应该是多少度？

生：当两个半平面重合时，是角. 两个半平面都在桌面上时，是.此时只有当PE ⊥AB , PF ⊥AB , 这两条射线组成的角 ∠EPF 才分别为.所以当PE ⊥AB 、PF ⊥AB 时，∠EPF表示二面角的平面角最合适.

由学生归纳“ 二面角的平面角” 的定义 .

1.2数学解题的开放性探究

教材例习题的选编是教材编写过程中的重要一环，但当前的数学课堂教学充斥着大量的“去课本化”现象，究其缘由，教师认为教材习题过于简单，取而代之的是大量技巧性繁杂的问题.笔者以为，教材例习题不仅要用，而且要用好，可将课本的例习题作为探究问题，通过一题多解和一题多变进行数学解题的开放性探究.

【案例2】（苏教版必修5  复习题16）已知正数x、y满足求的最小值.

这道题作为基本不等式的应用，从高一直到高三复习过后学生掌握的情况都不理想.关键是学生对这类题的结构特点认识不够，解题方法的研究不到位．我们通过三个环节来解决问题：

（1）对解题方法的分析研究, 结合学生的解题情况整理展示了以下方法：

分析1 ：，.

分析2 ：当且仅当时取“=”，由得，

.

分析3 ：

.

分析4：令

，.

分析5 ：“1”代换法

.

分析6 ：消元“1”代换法

=… .                  

请学生讨论哪些方法正确的？哪些方法是错误的，错在哪儿？哪些方法好？

（2）对题型结构分析，本题的结构特征怎样的？请学生查找归纳同类型的问题.学生查询资料有很多题，如：

变式1 （2015届苏州期中12）已知正实数满足，则的最小值为   _________．（答：1）

变式2（2015届苏州期末14）已知为正实数，且，则的最小值为         .（答：）

变式3（2015届苏、锡、常、镇一模14）已知实数满足，且，则的最小值为      ．（答：）

（3）请学生自编同类型题，同学之间交流、相互解答，学习园地展示．

1.3 数学规律的建构性探究

    从特殊到一般地研究数学问题是数学发现和数学知识生长的重要途径，因此除了对教材中的例题和习题进行一题多解和一题多变的开放性探究外，还可以将有规律的数学知识、数学结论作为探究问题，进行数学规律的建构性探究.

【案例3】阿波罗尼斯圆的研究与拓展

（苏教版选修2-1第37页第9题）已知点到椭圆的左焦点和右焦点的距离之比为，求点满足的方程.

全国各地高考试卷中多次出现以此为背景的试题，如：

（2008年江苏高考13题）满足条件AB = 2，AC = BC的DABC的面积的最大值是_________．（答：）

（2013年江苏高考17题（2））在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. （答：0≤a≤5(12)）

考生答卷情况很不理想，解题时没有建立起与课本这一习题的联系，我们在教学中应该对这一数学规律的建构性探究．

数学建构：在平面内到两个定点的距离的比值是一个不为1的正常数的点的轨迹是圆（可作为圆的第二定义），并且圆心和定点三点共线. 这个圆称之为阿波罗尼斯圆.

顺势介绍数学史：阿波罗尼奥斯（Apollonius 约公元前262年～约公元前190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》将圆锥曲线的性质网罗殆尽，是古代世界光辉的科学成果．

待学生学完圆锥曲线后，应对所学知识作一归纳，以利于形成知识网络：

①到两定点的距离之商为定值（定值大于零且不等于1）的点的轨迹是阿波罗尼斯圆；　

②到两定点的距离之和为定值（定值大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆；

③到两定点的距离之差的绝对值为定值（定值大于零且小于两定点的距离）的点的轨迹是双曲线；

④到两定点的距离之积为定值（定值大于零）的点的轨迹是卡西尼卵形线．

   另外对阿波罗尼斯圆还可作以下探究：

探究1：已知点A(-2 , 0)，B(4 , 0)，圆，P是圆C上任意一点，问是否存在常数l，使得？若存在，求出常数l；若不存在，请说明理由．（答：存在）

探究2：已知点A(-2 , 0)，圆，P是圆C上任意一点，问：在平面上是否存在点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．（答：存在）

探究3：已知点A(-2 , 0)，B(4 , 0)，圆，P是圆C上任意一点，若为定值，求b的值．（答：）

探究4: 已知P是圆任意一点，问：在x轴上是否存在定点A、B，使得？若存在，求出定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．（答：A(-2 , 0)，B(4 , 0)或 A(-6 , 0)，B(-12 , 0)）

    通过以上一系列的建构探究，学生不仅掌握了一类题的解法，真正重要的是利用知识迁移的规律培养了学生自主探索发现问题和举一反三的能力.

2.实施有效数学探究教学的几点反思

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为数学学习主要是进行“再创造”，只有让学生经历了知识的“再创造”过程，才能将知识以它最初被发现时的样子表现出来，才能将数学冰冷的美丽转变成火热的思考. 数学探究教学则是数学知识“再创造”和“再现”的重要方式，除了了解探究什么，笔者认为，要想实施有效的数学探究教学，必须对如何探究作一些理性反思.

2.1 探究问题的明确性

数学探究活动是基于问题的活动，问题是数学探究的动力、起点，同时也是激发学生探究活动的根源，因此探究活动的最终指向是探究问题的解决.问题既可以是教师提供的，也可以是学生在学习过程中独立提出的，无论谁提出问题，必须保证所提的问题指向明确，使学生有明确的探究方向.因此，教师在每次探究活动前必须向学生明释本次数学探究的要求和任务，避免学生探究活动的盲目和随意.

2.2探究过程的参与性

问题的明确性是有效数学探究的起点，而过程的参与性则是有效数学探究的关键.“把学习过程作为教学目标”是新课程改革的重要观念之一.过程的参与性首先体现在学生在数学探究活动中的经历与参与，在整个探究活动中，教师应把课堂还给学生，如果教师直接讲授“探究过程”，这样的过程就失去了探索的意义.因此，在探究活动中，教师应把自己的精力稳稳的放在鼓励学生观察分析、自主探索和合作交流上.其次，过程的参与性还表现在

结论的自主建构，学生通过自主探究、分析问题并进而解决问题，建构数学知识，获得数学学习的体验，形成数学现实和数学经验.

2.3 探究环境和思维的开放性

开放性是探究学习的一个重要特征，“探究”一词的本质特征在于对现有知识或理论的开放态度和创新的意识.探究学习强调开放性，首先体现在教师必须营造一个开放的课堂教学体系，给学生创造一个宽松、和谐、民主的心理氛围，尊重学生的自主权和主动权，利于学生开展数学探究.其次，探究的开放性还表现在开放的思维和开放的心态上，在探究活动中，教师不能控制探究过程，而应该是调控探究活动的各个环节，不能限制学生的思考的方向和角度，也不应设置预期的探究结论和产物，只有开放的目标和开放的内容才能产生开放的思维和开放的心态，从而保证数学探究活动的有效性.

2.4 探究能力和素养的生长性

教育意义下的“生长”，应该是一种优质的生长，是一种有效的生长.数学的探究过程也应该是一个有效“生长”的过程，这种生长应该体现在探究数学问题的能力和素养上.每个个体都会从已有的实践活动和经验中寻求从事新的实践活动的重要启示和生长点.在探究活动中，学生只有积累了更多的经验和数学现实，才能在新的探究活动中利用这些经验和现实进行持续且有效的“生长”.笔者认为，每一次探究活动后的学生的反思回顾是积累经验和现实的有效渠道，可以引导学生反思探究的背景，可以引导学生反思探究的成果和产物，更要引导学生反思整个探究的过程：是如何对问题进行分析、解构并得以解决的？在探究过程中每一步的合理性如何？探究过程中体现了什么样的数学思想和方法？教师既可以在课堂上让学生大胆的“说出”自己的反思，但顾及到反思更多的是一个内省和再认知的思维活动，因此也可以引导学生“写出”自己的反思.笔者认为，无论是说反思还是写反思，都能帮助学生自己积累有效的经验和数学现实，自主搭建探究活动的“生长点”，利于数学探究能力和素养的有效生长.

参考文献

[1] 郑毓信著. 数学教育哲学的理论与实践[M]. 广西教育出版社.2008:5-6.

[2] 章建跃 陶维林. 概念教学必须体现概念的形成过程[J]. 数学通报,2010(1):25-29.

[3] 王华民 郑宝生. 对数学概念形成过程实施局部探究的实践与思考[J].数学通报, 2011(7):

27-29.

（本文发表于全国中文核心期刊《数学通报》2015年09期）