重基固本，溯源谋新^＊

——二轮专题《基本不等式》教学设计与思考

蔡道平

高三数学的复习是一个系统工程，一般认为可分成一轮复习( 基础) 、二轮复习( 专题) 及综合模拟三个阶段．二轮复习一般以专题的形式，强化重点、破解难点，注重知识的纵横联系，熟练解题方法与技巧，提升分析、解决问题的能力．如何提高二轮复习的实效是我们每个高三教师都要思考的问题，为此，今年４月苏州市教科院召开了高三数学二轮复习研讨会，在会议上我开设了“基本不等式”专题复习课，得到了听课老师的一致好评，以下是这节课的教学设计与思考，不妥之处，敬请指正．

１　教学设计

1.1 知识回顾

师：什么是基本不等式？使用基本不等式有什么条件？基本不等式有哪些变式？

学生回答后教师补充完善，投影显示相关知识点．

1.2  典型例题

例１（必修5 P98例2改编）求函数的值域.

（答：函数的值域为）

变式1 求函数的最小值.

（答：当时，.）

变式2求函数的最小值.

（答：当时，.）

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

*此文为全国教育科学“十二五”规划２０１１年度教育部规划课题“以行为优化为核心的有效教学课例研究”的研究成果，课题批准号为ＦＨＢ１１００３３．

变式3求函数的最大值.

（答：当时，取“=”.）

师生交流解答后归纳单变量最值问题解法：

一般地，若分子、分母不可约，

方法1，可化归为形式，利用基本不等式或函数单调性来解；方法2 ，直接导数来解.方法1有一定技巧性，方法2易算错.

例2（必修5 P106复习题16）已知正数x、y满足求的最小值.

问题1 本题已知与所求之间在结构上有什么特点？

问题2 你能用哪几种方法来解？哪种方法好？

问题3 请你至少找出两道做过的同类型题，并作出解答.

问题4 请你为二模命制一道基本不等式试题.

学生展示交流上述四个问题，教师点评归纳．

例3  已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．

（答：2－3.）

变式1若正实数，满足xy＋2x＋y＝4,则的最大值是___________.

（答：.）

变式2 若正实数，满足xy＋2x＋y＝4,则的最小值是________.

（答：4－4.）

师生展示交流后归纳双变量最值问题：方法1消元法，化为单变量或化为一元二次不等式问题；方法2 配凑利用基本不等式．法1运算量较大，易算错；法2技巧性较强，要记住特殊题型的处理方法，换元是常用方法.

例 4 (2010盐城三调)若a，b，c>0，且a²＋ab＋ac＋bc＝4，则2a＋b＋c的最小值为________．

（答：4.）

     变式1 已知的最大值为_________.（答：4.）

变式2 已知，，则的最小值        ．     （答：3.）       

师生交流完成后归纳多变量最值问题：

    利用基本不等式来解，技巧性强．变形中可能会用消元、分解因式、配方等方法．若求最小值，利用“积定和最小”应观察能否将条件化成积是定值，所求式子化为和式；若求最大值，利用“和定积最大”应观察能否将条件化成和是定值，所求式子化为积式.

例5 （必修5 P99 例2改编）某工厂两幢平行厂房间距为50m，沿前后墙边均有5m的绿化带，现在绿化带之间空地上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800 m²  ，深度为3m，水池一组池壁与厂房平行.如果池底总造价为c元，平行厂房的池壁每1m²的造价为b元，垂直厂房的池壁每1m²的造价为a元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？

解 设总造价为y元，垂直于池壁的边长为xm，则另一边长为，即.

因为,所以

当且仅当即时取“=”.

若,则,当时,;

若,则当时,,

所以所以函数y在x∈(0,40]上单调递减，也即当x＝40时，.

综上可知，当时，水池设计成垂直于厂房的池底边长，平行于厂房的池底边长，最低造价为元；当时，水池设计成底面边长为的正方形时，最低造价为元.

1.3课堂小结、练习（略）.

2 教学思考

2.1精准定位 靶向教学引方向

对《普通高中数学课程标准》、《江苏高考数学考试说明》和历年高考试题的学习和研究，可以明确高考复习的方向，提高复习的针对性和有效性.

《普通高中数学课程标准》从总体上规定了高中数学教与学的方向和目标，指导着平时教师的教和学生的学，在三者中处于主导地位，《考试说明》是在《课程标准》基础上对当年的试题作出的知识范围和能力目标的说明，高考的命题将以《课程标准》为指导，以《考试说明》为依据．高考试题是《考试说明》要求的具体化．因此，作为二轮专题复习课，要认真学习研究《普通高中数学课程标准》和高考《考试说明》的要求，要精心研究江苏近几年高考试题，掌握高考命题走向，要认真分析学生学习现状，掌握学情，提高复习的针对性.

对于基本不等式这一知识点，课程标准中要求是能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题），能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；考试说明中为C级考点，即要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题；近几年高考试卷中，从内容上看本节内容重点考查基本不等式的常规问题即求最值问题（不等式证明在附加选做题中出现，大多数学校不选这一模块），从考查形式上，单纯对基本不等式的命题出现在填空题中；在解答题中，多与函数、三角结合，难度适中，从能力要求上看，要求学生具备较高的转化能力，具备将所求问题转化为常规问题的能力；从学生学习现状来看，经过一轮复习已经会利用基本不等式解决常见的最值问题，但由于训练过程比较分散且这类问题能力要求较高，因此对学生来说还是有不小的困难，需要进一步系统梳理.

根据以上分析确定教学目标为：能够利用基本不等式解决最值问题，掌握变形过程中的一些常用方法，渗透转化与化归、分类讨论等数学思想方法；感受数学逻辑的严密性，培养学生的逻辑思维能力.在例题、练习选择时，选用一次基本不等式即可解决的问题，回避其它省的和模考中多次使用基本不等式才能解决的问题.

2.2回归课本 经典例题焕新生

在二轮复习中要精心选择例题， 有的老师一味地追求新题, 把二轮复习当年高考题和各地最新调研试题的堆积，其结果是留在学生脑海里的是一个个杂乱无章的题目, 学生形不成一定的知识与方法体系. 在题目的选择上不是越新越好, 老师眼中的陈题对于学生来说很多还是新鲜的, 那些课本上经典的好题不能随意舍弃.近年来高考试题体现了“追根溯源，回归课本”， “源于课本，高于课本”的理念．如果教师能在复习中回归课本 ，在备课中耐心钻研，在教学中灵活运用，就能帮助学生回忆、唤醒以前学过的数学知识和基本问题，才能发现数学问题的本质，找到数学问题的源头，达到事半功倍的教学效果．因此我们在高考复习中应当充分重视教材，研究教材，把教材一些题目做一定的组合与变式拓展，帮助学生展开有质量的联想和探究，让学生从不同角度、从浅层理解达到对问题本质的、深层次的理解，让学生在解决这一类的问题中做到“举一反三，触类旁通”． 本课例题有5道，选自教材（改编）的例题3道，学生通过例１、例2的解答明确了使用基本不等式解题的条件，掌握了处理这类问题的基本套路和方法．改编例5时原以为学生应该会做，但意想不到出现了很多错误，主要有：①审题不清，底面总造价c元看成每1m²造价c元，池壁造价a、b弄反了；②建模错误：没算高，少算两面池壁；③过程不规范：若,则当时,直接得到，没有说明单调性；④不分类讨论：没有根据等号成立的条件分两类讨论；⑤运算错误：运算没有求简意识，最小值求错；⑥答案不规范：没有说清怎样设计，只答了最小值.

2.3师生互动 自主学习补缺漏

在课堂教学中要突出学生的主体性是新课改倡导的理念 , 如何将这一理念落实到二轮复习的课堂中? 对于一节容量大并有一定难度的高三复习课，并非只靠教师的一言堂就能取得较好的效果．恰恰相反，由于例题考查的更多是学生的思维能力，因此在课堂中只有调动学生的主动性才能提高教学的有效性、高效性． 实践表明 : 采用“ 先练后讲 、先思后讲 、合作探究” 的教学方法 , 可最大限度地减少教师的讲解时间 , 增加学生的动脑动手动口的活动时间 .我们在 课前发放讲义 , 让学生独立思考解答 , 教师批阅学生解答情况 ,收集整理学生的各种解法做成PPT, 课堂上进行展示，课堂教学的重点就放在学生存疑、模糊的地方，使教学过程做到有的放矢.对正确率高的题目要组织学生讨论解答是否规范，克服“对而不全”现象，还要让学生提炼规律要点 ；对正确率低而学生会的题目 , 可让学生合作讨论纠错后 , 指出错误的根源，并分析如何最大限度减少“会而不对”现象的发生 ；对学生不会的题目 , 教师要引导学生合作探究 , 分析思路受阻的原因，如何多角度、多渠道思考这一问题 ,最后让学生自己解答 .在问题解决之后, 引导学生解后反思发现问题的本质, 知其然更知其所以然, 从根本上解决学习中的困感, 学会触类旁通、举一反三．引领学生反思: 解决这类问题的一般方法是什么? 有没有最佳做法?  以往有没有见过相似问题，它们之间有什么异同? 在问题解决的过程中, 用到了哪些思想方法? 如何让其成为我们自己思考问题的方法?学生通过预习，带着问题听课，听同龄人的讲解，看身边人的展示，优秀生体验成功的快乐，落后生有补给的时间和机会，极大调动了学生的积极性和创造性. 例2是课本习题，本届高三上学期期中、期末，本学期一模都是这一题型，但错误率始终很高，关键是学生没有认真思考其本质，为了促使学生思考，主动参与到知识网络的建构中，我设计了四个问题，在课堂教学中用PPT对学生的研究成果作了展示，如问题2：

分析1 ，.

分析2 当且仅当时取“=”，由得，

.

分析3 （消元法、基本不等式法）

.

分析4（消元法、求导法）令

，.

分析5 （“1”代换法）.

分析6 （消元法、“1”代换法）

在投影展示过程中，由学生讨论分析1、2错误的原因，通过分析3～6这四种方法的比较，明确解决这类问题的通法和最好的方法.

对于问题3，学生找到了十多道同类型的题，如：

（1）（2015届苏州期末14）已知为正实数，且，则的最小值为         .（答：）

（2）（2015届苏、锡、常、镇一模14）已知实数满足，且，则的最小值为      ．（答：）

问题4学生自编了二十多道题，课堂上展示的创新的问题，其余在学习园地展示．

通过这样四个问题的讨论，相信学生对这类题一定有了较深刻的理解．

2.4重点突出 训练思维避题海

二轮复习需要增大课堂复习容量，但不是追求过多的讲，过多的练，面面俱到，而是在重点问题上舍得花时间，对非重点问题敢于取舍，课堂上要集中精力解决学生困惑的问题、模糊不清的问题、缺漏的问题、高考中的热点问题，增大学生思维容量，少做无用功．本节课共有5个例题，前四个例题有多个变式，紧紧围绕着基本不等式求最值设计问题，对基本不等式求最值作了较系统的归纳，强化了本节课的重点，深化了主题．采取一题多变的形式，是因为一些高考题就是把平时练习中的题目通过给出新的情景、改变设问方式、互换条件与结论等手段改编而成．因此对一些可以改编的问题进行变式训练、题组训练，让学生进一步掌握这类问题的本质及其通性通法，对于培养学生的发散思维能力有很大的好处．讲解时要注重一题多解，注重方法的比较择优，要紧紧围绕重点方法(通性通法)重要知识点、重要数学思想和方法，狠抓过关，狠抓落实．

2.5系统梳理 数学思想炼内功

高考试题的设计重视数学知识的综合和知识的内在联系，并在对基础知识考查的同时，考查数学知识中蕴含的数学思想与方法．通过高三的第一轮复习，大部分学生已经基本掌握了高中数学知识，并初步形成知识体系，积累了比较丰富的解题方法和经验．但也存在不少问题，比如知识点在学生的意识中还是孤立的，学生对数学知识的思想和本质理解不到位，思维能力较弱，不能举一反三等等．因此在二轮复习的过程中，要突出解题规律的教学, 要用规律引出解题基本数学思想方法, 用规律阐明基本数学思想方法产生的原因；要把基本数学思想方法的总结作为解题总结的首要内容,基本思想方法蕴含在具体的题目中，教师要引导学生不断地通过这些例题和习题进行“提炼”和“概括”，仔细体会，认真思考，在不断地思考体会中把这些思想方法进行内化，转换为自己的能力，反过来充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，用这些思想方法指导解题，在不断的反复中把数学知识和数学思想方法融为一体，使学生的能力达到一个新的高度．

本课中加强常见题型的梳理归纳，对单变量、双变量、多变量最值问题的解题规律作了系统总结．例1和例5体现了分类讨论的数学思想方法，例2、3、4强化了转化与化归的数学思想方法.

（本文发表于《上海中学数学》2015年第11期）