浅谈如何用好“数形结合”这把双刃剑

  徐叶琴

摘要：“数形结合”作为一种古老而又年轻的思想方法，越来越受到广大数学教师与学生的青睐，对其优越性也较为认可，但学生实际操作上用图意识不强、作图能力与技巧等有待强化，本文从精确性、完整性、等价性、存在性这四个方面提出了个人的思考与建议，从而使“数”与“形”达到完美结合。

关键词：双刃剑  数形结合  潜移默化

单刃为刀，双刃为剑。古时剑乃上等兵器，也是将帅之饰物。古时人们赞赏剑的锋利，是因为它能给持剑者以威风、豪爽与侠气，令敌者胆寒，具有很强的杀伤力。

问题1：（2013·南京一模）若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与点对看做同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有__________个.

解析：由题意知，在函数上任取一点，则该点关于原点对称的点在函数上，故，所以，令，由图像可知的“友好点对”有2个.很显然，，故答案有2个“友好点对”一点问题也没有。因其直观、形象、简洁，所以倍受师生的青睐，因而在教学中我们更多是向学生展示数形结合的优越性，渐渐地使学生认为数形结合是“万能”的——一把绝对的利剑！

可是，今日人们论剑已经不仅仅是它兵器上的意义了，战时已被军舰、战斗机、坦克等所取代。在在现实生活中它被赋予了一种深刻的寓意和丰富的内涵，尤其是指一件事物的两面性，对于特定事物产生双面的影响。J.S.布鲁纳曾指出：掌握基本数学思想和方法能使数学易于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”，不但要让学生学习特定的事物，而且要让学生学习一般模式，模式的学习有助于理解可能遇到的其他类似事物，在基本数学思想和方法的指导下驾驭数学知识，就能培养学生的概括能力。据此，数学教学不能满足于单纯的知识灌输，而是要使学生掌握数学最本质的“东西”，不能让学生深陷题海中，而是要让学生用数学思想和方法来掌握和解决问题，以此来培养与发展学生的能力，提高学生的数学素质。

在平时的数学教学中不少老师的“数形结合”往往偏重于化“数”为“形”，以“形”解题，再还原为“数”，在很多时候应用这种模式处理问题时的确有上述优势；然而这种片面的“数学结合”会诱导我们在解决问题时不知不觉地出现错误的解法与结论，故要注意以下几个导致这种局限性出现的因素。下面浅析自己的一些想法，如有不当之处，希同行们不吝赐教。

（一）精确性：由于作图工具的限制、作图的技巧、对图形的认识水平的差异等原因，不同的人作出的图形在细节的把握、图形走势的趋向方面千差万别，而这些差异有时会影响到结论的正确性。问题2是一道典型例题，高一时当例题讲，时常提醒；高二时经常巩固；到高三时，还是有不少学生犯错。

问题2：函数与的图像的交点有__________个.

变式：（1）函数与的图像在上的交点有__________个.

（2）函数与的图像在上的交点有__________个.

错解：在同一坐标系中作出这两个函数与

的图像，如图所示，易知有3个交点。

分析：因为在时，是

恒成立的，即在上，函数与的图像是没有交点的。同理，由函数的奇偶性及周期性可知在定义域上除了原点没有其它交点。故两图像的交点只有1个。教师的寥寥几句，又能让多少学生理解，一星期、一个月、……之后还有多少人能记住？何况在三角函数中，“时，恒有．”这一结论的证明及应用都比较少见（不能责怪学生）。也许新授课时有不少学生能听懂！

不妨回顾一下——

在单位圆中，，则的

几何意义分别为有向线段、弧、有向线段，由

，得，

即成立。

在现今高考竞争日趋激烈形式之下，一方面学子们埋头遨游于书山题海中非常辛苦，另一方面国家对人才不仅在知识，而且在能力方面的要求都在不断地提高，于是提高学习效率，使学生在有限的时间内做到“轻松学习，高效学习”，既能减轻学生学习的负担，又能提高学生学习的兴趣。学生在数学学习方面能否做到善于学习；解决问题能力能否提高，做到举一反三、触类旁通，关键在于学生是否具备一定的解决问题的思想方法作为指导，而学生的解题思想方法又离不开教师的教导与潜移默化的影响。

到高二再遇到这一问题，我会这么教我的学生，要证明不等式即是比较大小，常用“作差、作商比较法”（学生可谓异口同声地回答，但高一时我们遇到了问题，不能继续往下）。如何比较与的大小？现在可以用导数法，构造函数，在上恒成立，在上单调递增，且，故在时，，同时函数与的图像的交点有且只有1个。我们还得继续，作商与1的大小又如何呢？当然我们还可以用导数法，我们不妨再看看其形式，理解成函数的图像上一点与原点之间的斜率，如图所示，的值随的增大而减小，

由割线逼近切线法知，在上的最大值接近函数

在原点处的切线的斜率。，，

换句话说，是函数在原点处的切线（点到本质）。

故，然后下结论不是轻而易举的事儿了！其变式题就不是个事儿！

变式题参考答案：（1）1；（2）1.

（二）完整性：有时候由于作图区域的限制，或人为的主观意识，这种以偏概全的做法在某些情况下也会导致错误的出现。我们要注意图形的完整性，尤其是对有变化的地方一定要刻画清楚。

问题3：（2014·南通一模）设函数是定义域为，周期为2的周期函数，且当时，；已知函数，则函数和的图像在区间内公共点的个数为___________.

变式：（3）函数与的图像的交点有__________个.

    如果问题2讲清楚的话，就不会出现如右图的14个公共点的错误答案。我们应注意到函数在处的切线的斜率为0，而在处的切线的斜率肯定大于0，为最后一段图像的割线，则与的图像在上有两个交点，故正确答案是15个。下面我们一起来验证（建议介绍给学有余力的学生）：与的图像在上有两个交点，即方程在上有两个不相等的实根。构造函数，，记在上单调递增，且

∴存在唯一一个，使得，

由上表知，当时，取到最小值（我们只要看它的正负，故不必把值求出来，由，及函数在上单调递增，得），且，所以函数在上有两个零点，故两函数与的图像在上有两个交点噢！变式（3）也是一个典型的利用图像解答的问题。千万不能贪图简洁，这样会使我们失去深刻反思的余地。答案：3个。

（三）等价性：由于“数”与“形”的不完全等价的原因，化“数”为“形”的过程并不恒等，因范围的缩小导致结论的遗失。

问题4：（2013·南京期中）设二次函数，方程的两个根满足.（1）当时，证明：；（2）设函数的图像关于直线对称，证明：.

    当时，有一帮学生（数学学得还不错哦）就拿着右图，

说：“这是一个错题。”“是题目错了（作差比较法早已证出）？

还是图画错了（这帮小子又轴动要讨论了）？”如果说出

他们的错误点，那么他们肯定改得既快又准确。但关键是要

培养他们如何自己发现问题，培养他们良好的数学品质。

那我们不妨取一些满足题意的值，如，

则，即……老师，我们忘记了讨论对称轴的位置了，在区间里面不行；右边也不行（至少有一个）；那只能是区间的左侧了。

“是吗？那第（2）问的证明是不是太简单了（）。”当，则，若，则；

若，则；若，则，

噢！对称轴只要在的左侧都有可能。还是老

老实实作差比较吧。

（四）存在性：化“数”为“形”的过程中，没有对

图像的存在性加以考虑，由于虚假图形的出现而导致错解。所以，在运用“数形结合”的方法解题时，要仔细分析题意，以确保图像的存在性，以免出现无中生有的现象。

问题5：（2012·盐城高三摸底）已知函数，其中.若对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则实数的取值范围是____________.

参考解析：由题知当时，．又对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，所以函数必须是连续函数，即在附近的左、右两侧，其函数值相等．于是，即

有实数解，所以，解得.参考答案：.

事实上，当时，若二次函数的对称轴，则对，是不存在非零实数，使得成立的，故，即。所以，原题等价于关于的方程

在有实数解。

从上面我们不难看出：“数形结合”思想方法的双刃（优越性与局限性），我们要正确拿捏，发挥其最大威力，成为现代意义之下的“将帅”。客观世界也是动态变化的，解决问题的方法和手段往往不是一成不变的，特别在遇到障碍时，所采用的方法与手段也应该根据问题形式变化而不断地变化，才是我们应持有的态度。数学是研究空间和数量关系的科学，少了数的严谨，研究只能停留在表面；少了形的直观，研究则抽象空洞，在解题过程中对二者随时根据需要进行转化、完美结合，以“形”显“数”，以“数”助“形”来解决问题，才能达到和谐统一。

（本文发表于《数学教学通讯》2014年第10期）