例谈数学思想指引下的解法探究

徐叶琴   

摘要：高中数学试题一是着眼于基础知识的掌握、各种知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。如果说数学知识是数学内容的体现，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识、数学素养，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。常见的中学数学思想主要有数形结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想、化归和转化思想，在教学中教师要展现在数学思想指导下寻找解决问题的多种解法的思维历程。

关键词：试题；数学思想；探究

试题呈现：(扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题填空题第12题)设实数满足，则的最小值是__________.

此题虽然小，却是亮点；看似平常，却是丰富多彩。入口宽，方法多，蕴含着丰富的数学思想。它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实和理论经过高度提炼与概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题的指路明灯。对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志。此题中也蕴涵着丰富的数学思想，只有挖掘其中的数学思想，才能深入认识试题，透彻分析试题，顺利解答试题。

探究视角一：函数与方程思想

函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想；方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想。

    解法1 (消元，减少变量)

由得，则

，令，

下面可以用求导或用基本不等式求出在上的最小值.

    1.1求导法

由得（舍负）

由上表知：当时，所求的最小值是.

    1.2基本不等式法

    ，

当且仅当，即(舍负)时，等号成立.故所求的最小值是.

解法2 (构造方程)

令，由得，若变量分离进行整理，则如解法1的形式；那么整理成方程形式为，令，则原问题等价于：当一元二次方程有正根时，求的最小值.

设是的两根，，该方程应该有两个正根.只需要，解得.

所求的最小值是.

    探究视角二：化归和转化思想

    转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

    解法3 (“1”的代换)

由得，利用“1”的代换将所求式子等价转化为齐次式，即，接着分子、分母可以同时除以或者均可。

3.1换元法

令，则，接着还可以利用求导法(略)；还可以继续换元，则原式可化为，下同解法1，过程也就省略了，学生也可再巩固一下.

3.2分类讨论

分类讨论的思想是将一个教复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题实行分类与整合，分类的标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度。

若分子、分母同时除以，则要讨论是否为零。当时，，此时；当时，令，则

，若时，的最小值是1；故只要考虑即时，求的最大值.接着求导当然可行，若要换元，则应该令，所求式子等价转化为，下面由学生完成。

    若分子、分母同时除以，则，那还得转化为3.1与3.2来解决该问题。

解法4 (三角换元)

设，令，代人，化简得

，，

，由此解得.所求的最小值是.

另解：由得，

令，则

，所以，下同解法3.2。

探究视角三：数学结合思想

数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，通过几何性质解决代数问题。

解法5 (建系设点，相切位置关系)

    的几何意义指到原点距离的平方，

由得函数，易知是奇函数，且在和是单调递减的。由对称性知，只需考虑当时的情况。设，则由题意知：圆在点处的切线也是函数  在点处的切线.，，解得，

或者直接求，故所求的最小值是.

    数学思想方法不是操作程序，没有具体的步骤，需要感悟和理解；但是，没有数学思想方法就找不到解题方向。在上述解法探究中，要感悟试题中所蕴涵的数学思想。近几年的江苏高考越来越重视对数学思想方法的考查，教师在教学中要展现在数学思想指导下寻找解决问题的多种解法的思维历程。故在教学中要关注数学思想方法，渗透数学思想方法。这样能提高教学质量和效率，能促进学生学习数学的兴趣和思维，有利于培养造就开拓型人才。

（本文发表于《数学之友》2015年第2期）