多种方法探究加速度与力、质量之间的关系　　

江苏省梁丰高级中学　楚向义

       牛顿第二定律明确了加速度与力、质量之间的关系。在新课程标准下，对这三个物理量之间的关系掌握、理解和应用固然重要，但得出三者关系的过程以及这个过程中的科学方法也决不能忽视。

       一般来说，通过实验的方法探究多个物理量间的关系常用控制变量法。所谓控制变量法就是当研究多个因素之间的关系时，往往先控制住几个因素不变，集中研究其中某两个因素在变化过程中的关系。在各种“探究加速度与力、质量之间的关系”的实验中也都无一例外地采用了这种科学方法。

一、             牛顿得到“加速度与力、质量之间的关系”的方法 　　

牛顿自己对第二定律的表述是：“运动的变化跟所加的外力成正比，而且是在外力作用的直线的方向上发生的。”这里的“运动”是指运动量即“动量”，“变化”是指对时间的变化率。所以牛顿的原话可用数学式表示为：

对于速度远小于光速的寻常物体，其质量m不变，上式可写成：

也就是说，牛顿并没有直接研究加速度与力、质量之间的关系，而是研究了力与“运动量”即现在所说的动量之间的关系，然后再经理论推导才得到了我们现在看到的牛顿第二定律。其具体推导过程可以参阅牛顿的著作《自然哲学的数学原理》第一篇第一章。

二、             用实验的方法得到“加速度与力、质量之间的关系”。　　

　　　　　　方案1：装置如图1-1。

实验原理：

利用控制变量法，分别找出加速度与力的关系以及加速度与质量的关系。加速度a可用打点计时器求得，小车的质量M用天平测量，作用在小车上的外力F用小沙桶的重力代替。

操作要点：

（1）为保证细线的上接力等于小车所受的合外力，应做到以下两点。第一，要使木板靠近打点计时器一端略高，使小车恰能在木板上匀速下滑，即小车所受的摩擦阻力被小车的重力上滑分力平衡。第二，细线应与木板平行。

（2）实验中应使小沙桶的质量远小于小车的质量，具体见误差分析。

误差分析：

本方案存在系统误差。因为小沙桶在下落过程中并非匀速，而是加速，这样它的重力就与细线上的拉力大小不等，所以我们用小沙桶的重力代替小车所受的外力时，会使外力F的测量值偏大。实际上细线上的拉力应该为：

可见在　 　　　的情况下　 　　　，此时才可近似地认为沙桶的重力等于小车所受的外力。

典例探究：

　　　　　　用斜面、小车、砝码等器材按图1探究a、m、F三者关系的实验中，两位同学对数据的处理如下： 　　

（1）如图1-2甲所示，是甲同学根据测量数据画出的a-F图线，表明实验的问题是________________。 　　

（2）乙、丙同学用同一装置实验，画出了各自得到的a-F图线，如图1-2乙所示，说明两个同学实验时的哪一个物理量取值不同？并比较其大小。

解析：

（1）没有平衡摩擦力或平衡摩擦力不够。原因：从图象上看，若整体向左平移至坐标原点则与正确结果相符，也就是说所有点的横坐标即外力F均比正确结果多了一个相同的值，最有可能的就是没有利用小车重力的分力平衡摩擦力或平衡摩擦力不够。

（2）两小车及车上的砝码的质量不同，且M_乙<M_丙。原因：这个图象的斜率为　 　　　，由牛顿第二定律可知　 　　　，所以斜率较大的乙质量应该比较小。

　　　　　　方案2：装置如图2-1。

实验原理：

使两小车在外力作用下由静开始加速相同时间，由于　 　　　，t相同则a与s成正比，因此只需利用控制变量法，分别找出位移与力的关系以及位移与质量的关系就可以得到加速度与力、质量之间的关系。位移s可通过测量纸带上的痕迹得到，小车的质量M用天平测量，作用在小车上的外力F用小沙桶的重力代替。

实验步骤：

1．按图安装好装置．

2．给卡板下沿的毛呢条吸足墨汁。

3．把两小车移近卡板的定位槽。

4．把卡板插入定位槽中，用力压住纸带，使小车保持静止。这时，卡板在纸带上留下第一道墨痕A，此墨痕即为小车运动的初始位置。

5．向上稍提起卡板，两小车在砝码拉力作用下同时从静止开始做匀加速直线运动。

6．当小车运动到长木板边沿前，适时压下卡板，使两小车同时开始制动，由于小车制动过程做减速运动，因而卡板在纸带上第二次留下较长的墨痕BC。该墨痕的B端即为小车加速过程的末位置（也是减速过程的初位置），墨痕的C端即为减速过程的末位置。

纸带上A、B间的距离就是要测定的两小车在相同加速时间内的位移的大小s₁（A₁B₁）、s₂（A₂B₂）。

操作要点与误差分析与方案1相同。

典例探究：

　　　　　　       在“探究加速度与物体质量、物体受力的关系”中，某小组设计了如图2-2所示的实验装置。图中上下两层水平轨道表面光滑，两小车前端系上细线，细线跨过滑轮并挂上砝码盘，两小车尾部细线连到控制装置上，实验时通过控制装置使两小车同时开始运动，然后同时停止。

　　　　　　　　　　　　（1）在安装实验装置时，应调整滑轮的高度，使　　　　　；在实验时，为减小系统误差，应使砝码盘和砝码的总质量　　　　　小车的质量（选填“远大于”、“远小于”、“等于”）。

（2）本实验通过比较两小车的位移来比较小车加速度的大小，能这样比较，是因为　　　　　　　　。

（3）本实验中获得数据如右表所示，且在第1次实验中小车Ⅰ从图2-3中的A点运动到B点，请将测量结果填到表中空格处。通过分析可知表中第　　　　　次实验数据存在明显错误，应舍弃。

答案：

（1）细线与轨道平行；远小于。

（2）两小车都从静止开始加速相同的时间，根据　 　　　可得，s与a成正比。

（3）测量结果为：23.35cm。由于第三组数据中，拉力的比值跟位移的比值相差较大，所以第3组数据存在明显错误。

　　　　　　方案3：装置如图3-1。

       实验原理：

       跟方案1的区别是气垫导轨对滑块的阻力很小（可忽略），无需平衡阻力；加速度的测定方法有改变，先利用光电门测出滑块在相距s的两点上的速度v­₁、v₂，再根据　 　　　得出加速度a，或者测出滑块由光电门1到光电门2的时间间隔　 　　　，根据公式可得　 　　　。

       操作要点：

       （1）气垫导轨调平。开启气源，调节导轨的支脚螺钉，使滑块在任意位置都能悬浮静止或无明显移动，然后用弹射架上的橡皮筋弹射出滑块，使它从导轨的一端向另一端运动，遮光条按顺序通过两个光电门，计时器分别记下遮光条通过两个光电门的时间。调节处于三角形顶点位置的调平螺钉，使通过两个光电门的时间基本相等，且从反向弹射运动时，两次计时值也基本相等，即可认为轨道已经高平。

       （2）调节滑轮的高度，使细线也轨道面平行。

       （3）遮光条的宽度不应太宽。原因见误差分析。

       误差分析：

       滑块通过两个光电门时的瞬时速度用遮光条的宽度d与通过光门的时间间隔　 　　　的比值求得，实际上是通过光电门的时间间隔内的平均速度，遮光条的宽度越宽带来的误差也就越大。同时方案1中的系统误差在这个实验里依然存在。不过，由于这个实验的摩擦阻力非常小，并且利用光电门测量时间可以精确到毫秒，所以整体上看，精确度要比方案1和方案2好。

       典例探究：

　　　　　　　　
       为测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为3.0cm的遮光板。滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为　 　　　，遮光板通过第二个光电门的时间为　 　　　，还记下遮光板从开始通过第一个光电门到第二个光电门的时间为　 　　　，如图3-2所示。保持滑块的质量不变，通过改变所挂砝码质量而改变拉力的大小，重复实验至少3次，并将实验数据填入下表。

（滑块质量M=400g，光电门遮光板长度d=3cm）　　

试分析：

（1）如何计算滑块通过两个光电门时的速度？

       （2）如何求出滑块运动的加速度？

       （3）如何作出a-F图象？

       解析：

       （1）由于遮光板通过光电门的时间非常短，所以可以用这一小段时间内的平均速度来代替通过光电门时的瞬时速度。得：　 　　　m/s；　 　　　m/s。

       （2）根据加速度的定义式可求得：　 　　　m/s²。

　　　　　　       （3）在砝码质量远小于小车质量的时候，砝码的重力约等于小车受到的拉力。于是可得出3组数据：　 　　　N，　 　　　m/s²；　 　　　N，　 　　　m/s²；　 　　　N，　 　　　m/s²；由以上数据描点所作图像如图3-3所示。

                                           （本文发表于《新高考：物理化学生物》 2008年第7期）