“对数”教学设计与反思^①

   蔡道平

1 背景

2011年3月开始，我校承担了全国教育科学“十二五”规划2011年度教育部规划课题“以行为优化为核心的有效教学课例研究”．该课题以课例作为研究途径，通过优化教师教学行为来提高课堂教学效益，而提高课堂教学效益关键是优化教学设计，扎实有效地开展课题研究．对数概念的教学是高中数学的一个难点，我们多次围绕这一课题开展研讨，本课例是我们多次研究与实践的成果：通过优化教学情境，创新导入方式，激发学习兴趣，利用类比归纳的方法形成概念，采用合作探究的课堂学习方式，深化了学生对概念的理解，取得了良好的教学效果．　

2 教材分析

本节课是苏教版《数学》必修1第3章“3. 2. 1 对数”第1课时，对数概念对于高一的学生来讲是一个全新的概念．此前，学生已学习了指数及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数则是已知底数和幂值求指数．对数概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承上启下的作用．同时对培养学生归纳、类比的思想和逻辑思维能力都具有重要的意义．

教学目标：（1）理解对数的概念和简单性质，掌握对数式与指数式的互化，了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式；（2）通过自主探究、合作交流等学习方式，经历从特殊到一般、具体到抽象的研究过程，形成运用类比、归纳、分析转化方法的意识，提高理解和运用数学符号的能力；（3）从“发现”中体验成功，激发学习欲望，提高学习和探索的兴趣．

教学重难点：对数的概念，对数式与指数式的互化是重点；对数概念的理解，对数简单性质的发现是难点．

3 教学过程

3. 1 创设情境，导入新课

情景1  公元前300年，阿基米德观察了两个数列：1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, ×××；0, 1, 2, 3, 4, 5, ×××．并研究了这两个数列的特征：两个数列之间存在一一对应关系，第2个数列的两项之和与第1个数列相对的两项之积刚好对应，如2 + 3 = 5对应10² ´ 10³ = 10⁵．

师：阿基米德发现第1个数列中任何两项的积的指数等于这两项指数的和，这在当时还没有指数运算律的情况下是一个了不起的发现，这样两个数相乘可转化为加法运算．经过二千多年到了17 世纪随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的乘法计算，耗费的时间也越来越长，怎样利用上述思想实现乘法的简化计算呢？

问题1  我们知道1 000 ´ 100 000 = 10³ ´ 10⁵ = 10⁸，那么任意两个正数N，M的乘积N ´ M = ？如何简化计算呢？

（学生交流讨论后）

生：若将两数用指数形式表示，即若存在s，t，使N = 10^s，M = 10^t，这样N ´ M = 10^{s + t}．

问题2  对于已知正数N，是否存在惟一的实数s，使N =10^s．例如N = 7，7 = 10^s中s惟一存在吗？

生：作出函数y = 10^x，y = 7的图像，它们有惟一的交点，交点的横坐标为s的值．

师：那s到底是什么值呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

情景2  2012年我国的GDP为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GDP是2012年的2倍？

不妨设经过x年GDP是2012年的2倍，学生易得(1 + 8%)^x = 2，即1.08^x = 2．

师：这里的x是什么值呢？同学们归纳一下，我们现在需要解决的问题是什么？

生：我们要解决的是指数式中已知了底数和幂，如何求出指数？

师：是的，一般地在指数式 a^b = N 中，若已知a，b求N，这样的运算叫指数运算；那么已知a，N求b，这是一种新运算，从对应关系看，在给定a的条件下，指数运算是从b到N的一个对应关系，而新运算则是从N到b的一个逆对应．我们不妨称新运算为对数运算．（板书课题：对数）

设计意图  对数的产生有着极其丰富的历史背景，是人类文化的重要组成部分，通过情境1向学生作适当的阐述，但在计算器普及的今天，学生根本无法体会对数对简化计算的重要作用，因此设计情境2实际生活中的问题，让学生体会到引入对数的必要性．

3. 2 类比归纳，形成概念

师：回顾初中数学中，方程x³ = 8的解为x = 2，方程x³ = 7，在没有学过根式时不知道x是什么值，引进根式记号后我们知道x = 7(3)，7(3)是三次方后等于7的一个数，7(3)中有根式记号和数字3，7，引进根式后方程x³ = 7的解就可以表示了，类似地，请大家思考如何定义对数呢？

问题3  由10^x = 100得x = 2，由10^x = 100 000得x = 5；那么10^x = 7中的x如何表示？

生：也要引进一个符号来表示这个数，而且也要含有10，7这两个数．

师：如何科学地创设对数运算的符号呢？对数的创始人——苏格兰数学家纳皮尔（Napier, 1550年~1617年）．给对数作了定义，他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明．恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．他取用拉丁文logarithm（对数）的前三个字母log表示对数，又10^x = 7中的x一定还和10，7有关，故记为x = log_10□7．那么1.08^x = 2中的x =？．一般地指数式a^b = N中，b怎样表示？

生：1.08^x = 2中的x = log_1。082，指数式a^b = N中b = log_a□N．

师：是的，引进符号后，指数式a^b = N 就可写成了对数式b = log_a□N，log_a□N表示一个数，a的这个数次幂等于N．回顾学习根式时，中的a≥0，为什么有这个限制？

生：因为任何实数平方后不可能为负数，故a≥0．

问题4  对数式b = log_a□N中a，N有什么限制呢？如何来研究？

生：可以从指数式来研究对数式．

师：请大家先写出一些指数式，再改写为对数式，然后分组讨论有什么发现？（提醒学生指数式中a, b, N取值全面些，正、负、零均可取试试．）

教师巡视，发现问题展示：1³ = 1，3 = log₁□1，1⁵ = 1，5 = log₁□1，这样有3 = 5，故a ¹ 1；将1换成0也有这个矛盾，故a ¹ 0．(-2)^x = 3, x = log_-2□3，这样的x可能是分数，(-2)^x可能无意义，故a < 0时不一定能用对数式表示了．

师：同学们发现log_a□N中a > 0且a ¹ 1，另一方面，考虑到对数式与指数式转化得到，也应在新运算中沿用这一规定．在这规定下，有N > 0．

对数的定义：若a^b = N（a > 0，a ¹ 1），则b = log_a□N（a > 0，a ¹ 1），b叫做以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫真数．

教师强调：1）符号：与“”是开方符号类似，“log”是一个对数符号，log_a□N是一个整体；2）读法：以a为底，N的对数，注意不是“log”以a为底，N的对数；3）书写：底数a为下标，N正常书写；4）互化：类比乘方和开方，指数式与对数式是一个式子的两种变形写法，可以互化；5）概念对比（图2）；6）由指数与对数的关系可知，对数的真数N必须大于0，底数必须a > 0，a ¹ 1．

设计意图  对数的定义非常抽象，通过回顾乘方、开方运算来类比定义对数，使对数概念的出现比较自然，学生就比较容易接受，另外对底数范围的讨论，让学生明白了数学概念的产生合理性，事实上，对数的定义是历史上多少数学家不断改进的结果． 

3. 3 互化演练，感知概念

问题5  将下列指数式改写成对数式：（1）4² = 16；（2）42(1) = 2；（3）10^-2 = 0.01；（4）8.8⁰ = 1；（5）()^m = 5.13．

问题6  将下列对数式改写为指数式：（1）log₃□3 = 1；（2）log□12□27 = -3；（3）log₅□ = -3；（4）log□13□3 = -2；（5）log₁₀□a = -1.699；（6）log_e□3 = b，e = 2.71828×××．

（以上问题由学生板演）

师：（介绍特殊对数）常用对数log_10□a = lg□a．纳皮尔（Napier）的对数在爱丁堡发表以后，布立格斯（Briggs, 1561~1630）根据他在牛津大学讲授纳皮尔对数的经验和体会，提出了他的改进意见：因为平时的进制是十进制的，建议将对数改良一下以十为底的对数最为方便，布立格斯与荷兰数学家佛拉格（Vlacq，1660—1667）共同完成了1至100000的以10为底的14位的对数表，后来数学家常用以10为底的对数，这也就有常用对数了．

自然对数：log_e□a = ln□a（e = 2.7182818284×××）．这是因为很多反映自然规律的数学模型都包含e，如放射性元素的衰变公式、牛顿的冷却定律，还有化学、物理和建筑学等自然学科中经常会出现，所以就称为自然对数了．

设计意图：互化演练可加深对数概念的理解，历史背景的介绍，让学生明白“常用对数”和“自然对数”的名称并不是“空穴来风”而是“事出有因”，这样可以强化学生对对数概念的认识，体会数学和其它自然科学的联系．

3. 4 合作探究，深化概念

问题7  求下列对数的值：（1）log₃□81；（2）log₂□4；（3）log□12□．

分析  对数运算我们还不熟悉，而对数式与指数式可以互化，但题中给出的不是等式，不能化为指数式，故设其等于x，就可化为指数式来解了．（解略）

问题8  求下列对数的值：（1）log₂□16；（2）ln□1；（3）log₇□7；（4）lg□10；（5）log₆□1；（6）log□35□；（7）log□35□1；（8）log□12□16；（9）log₃□；（10）lg□100000．

（以上问题由学生板演）

师：求对数值我们化为指数式来解，同学们觉得麻烦吧，如果每次这样解，那定义了对数也没有什么意义，我们能不能不用化为指数式直接求对数呢？

问题9  从问题8你发现了什么对数一般性的结论？

生：（2）（5）（7）答案都是0；（3）（4）（6）答案都是1．

师：（2）（5）（7）底数不同对数值均为0，（3）（4）（6）底数不同对数值均为1，一般地有什么结论？另外4个对数请大家观察底数、真数和对数值的关系，能有什么结论？

生：log_a□1 = 0，log_a□a = 1，log_a□aⁿ = n．

师：上面结论就是对数的简单性质，如何证明？

（学生板演）因为a⁰ = 1，所以log_a□1 = 0（a > 0，a ¹ 1）；因为a¹ = a，所以log_a□a = 1（a > 0，a ¹ 1）；因为aⁿ = aⁿ，所以log_a□aⁿ = n（a > 0，a ¹ 1）．

师：回顾对数的定义，“log_a□N”是这样的一个数，a的这个数次幂等于N．请把这句话用数学式子怎样表示？

生：a = N．

师：你能从对数的定义来说明log_a□1，log_a□a，log_a□aⁿ的值是什么吗？

生：log_a□1是这样的一个数，a的这个数次幂等于1，故这个数为0，log_a□a是这样的一个数，a的这个数次幂等于a，故这个数为1；log_a□aⁿ是这样的一个数，a的这个数次幂等于aⁿ，故这个数为n．

师：log_a□aⁿ = n，a = N（a > 0，a ¹ 1）叫做对数恒等式．log_a□1 = 0（a > 0，a ¹ 1）即1的对数为0，log_a□a = 1（a > 0，a ¹ 1）即底数的对数为1，有了这些性质我们就可以直接写出一些简单的对数值了，以后我们还要进一步研究对数的运算性质．

设计意图  通过学生讨论交流，从例题、练习中归纳、猜想、证明得到对数的简单性质，强化了数学思想方法的教学，对数恒等式是教学的难点之一，这里从进一步理解对数的定义本质，利用定义来化解这一难点．

3. 5 总结反思，提高认识

问题10  请同学们总结一下这节课你学到了哪些数学知识？学到了哪些数学思想方法？

学生归纳后教师小结：1）知识要点：对数的概念；指数式与对数式的互化；利用定义求简单的对数值；对数的简单性质．2）思想方法：方程思想；类比思想；化归思想；归纳、猜想、证明的探究方法．

今天和大家沿着历史的足迹，探索了对数的含义，完成了前人用了两千年的时间探索得到的对数的概念，同学们很了不起，很多数学概念的产生过程中包含了人类许多的艰辛与曲折，经历了长期的改进，才成为系统的、严谨的逻辑形式．数学是一门生动有趣的富有创造性的学科，希望同学们更加热爱数学，勇攀数学的高峰．

设计意图  先让学生来做课堂小结有利于暴露学生忽视的教学重点，便于教师补充提醒完善知识网络；接着教师要从知识点、数学思想方法、学生的情感态度三个角度总结课堂所学，让学生更全面地认识数学，更好地学习数学．

3. 6 作业布置（略）

4 教学反思

（1）法乎自然，揭示概念教学规律

新课程强调学生不仅要掌握数学概念和结论，更应该在教学过程中充分揭示数学知识产生、发展的全过程，探寻数学知识的源泉．同时强调数学概念的形成应该是“自然”的、符合学生的认知规律的．对数的发展史告诉我们，对数思想的起因源自实际需要，对数概念的产生从阿基米德、舒开、斯蒂费尔到纳皮尔《奇妙的对数表的说明》的问世，人类思维经历了一个由具体形象到形式抽象发展的漫长过程．现行教材对对数的处理是建立在指数基础上的．这种处理方式是从教材的系统性和内在的联系性来考虑的，也是合理的，但这样处理有简单化的倾向．人类经过二千多年的漫长探索和研究才逐渐形成了对数概念及其运算方法，这反映出人们对对数的理解存在不小的难度，前人如此，学生也应是如此． 如何化解对数概念教学这一难点？认知的历史发生原理认为，数学学习的认知顺序应该与历史上该内容的发生和发展的顺序相一致，就如伊夫斯所言：“在向学生讲授一门学问时，应当按照这门学问发展的顺序来进行”，由于学生已有知识水平可能高于当时发现数学概念时的数学家，因此教学设计时要按照数学史上对数概念形成的几个难点进行分析，探索学生在学习此概念时可能存在的障碍；然后对这几个难点进行整合重构，教师进行引导和点拨，让学生亲历概念形成过程中数学家对于该概念的探究活动，感知对数概念的发现历程，理解科学发现的艰难曲折的过程，体悟数学的人文精神，体验数学探究的成功喜悦感．

（2）类比归纳，破解概念教学难点

本课的教学难点是对数的定义和对数简单性质的发现，对数的定义采用了类比方法得到的，类比方法是人们所熟知几种逻辑推理中最富有创造性的．科学史上很多重大发现、发明，往往发端于类比，类比被誉为科学活动中的“伟大的引路人”， 开普勒说：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最依赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在数学中最不可忽视的．”数学中的许多概念有类似的地方，在新概念的提出过程中，运用类比的方法，能使学生易于理解和掌握．根式的概念和对数的概念就有相似之处，学生还没学根式时，方程x³ = 7中x是什么？学生无法表示这个数，我们引入根式记号后就可以表示x的值了，类似地10^x = 100有x = 2，10^x = 7中的x学生没学过对数就无法表示，故也要引入一个记号来表示这个数，这样自然就有了对数符号，另外类比根式中被开方数有一定范围限制的，引导学生探究了底数的范围，这样就自然地给出了对数的定义．对数简单性质的发现采用的是对练习观察、归纳、猜想、证明的方法，通过的练习，既让学生熟悉了对数概念，又巩固了其基本运算，同时引导学生寻找规律，归纳性质，培养归纳猜想能力，发现对数性质log_a□aⁿ = n（a > 0，a ¹ 1）是有一定困难的，教师引导学生观察底数、真数、对数值三者关系来降低归纳猜想的难度，如何发现对数恒等式a = N（a > 0，a ¹ 1）是教学的又一难点，以往教学中一般采用的是类比发现法，相对抽象，对学生有一定的难度，效果均不理想，这里通过回顾对数定义，将文字语言翻译成数学语言，较好地化解了这一教学难点．

（3）合作探究，拓展概念教学深度

高中数学新课程倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再发现、再创造”过程．教育家施瓦布指出：“如果要学生学习科学的方法，那么有什么学习比通过积极的投入到探究的过程中去更好呢？”施瓦布认为教师应该用探究的方式展现科学知识，学生应该用探究的方式学习科学内容． 著名的荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔认为：数学教育应是一个活动过程，教育方法的核心是“再创造”，在整个活动中，学生应处于一种积极创造状态．数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的．教师不必将各种概念定理灌输给学生，而是创造适当的条件，让学生加强反思通过自身的实践活动来主动获取知识． 这节课中教师提供了对数产生的历史背景，明确了这节课要解决的问题，让学生回顾根式概念形成过程，通过问题串引导学生自主探究、合作交流，“再创造”了对数的概念，对数的性质也是在学生的活动中探索得到的．

(本文发表于《中学数学月刊》2013年第11期)